The generalized approach to multidimensional scaling

Abstract

Often in practice of solving economic problems there is a need to analyse objects with properties that are measured in different non-metric scales. Most popular mathematical approach of processing that properties is multidimensional scaling method. There are metric and non-metric scaling. The most reasonable of them is the Torgerson metric method, but it is supposed to have metric scale input variables. The paper proposes a modified method of factor analysis, which allows non-metric data as input. The paper presents arguments that the proposed modification is the improvement of the method of multidimensional scaling. The proposed method is less time-consuming than the Torgerson method, but is mathematically justified as well. So the mathematical explanation of the generalized multidimensional scaling method has been described. This approach broadens the range of possible ways to describe objects in economics by means of factors measured on different scales.

Часто в практике решения экономических проблем возникает необходимость в анализе объекта со свойствами, которые измеряются в различных неметрических масштабах. Наиболее популярный математический подход к обработке этих данных – многомерный метод масштабирования. Существуют метрическое и неметрическое шкалирование. Наиболее приемлимый из их – метрический метод Торгенсона, но это предполагает метрическую шкалу входных переменных. В статье предлагается модифицированный метод факторного анализа, который предполагает неметрические данные в качестве входных данных. В статье представлены аргументы, с которыми предлагаемая модификация является усовершенствованным методом многомерного шкалирования. Предлагаемый метод занимает меньше времени, чем метод Торгенсона, но при этом математически оправдан. Таким образом, приводится математическое объяснение обобщенного многомерного метода масштабирования. Такой подход расширяет диапазон возможных путей к описыванию объектов в экономике с помощью коэффициентов, измеренных в разных масштабах.

Часто в практиці вирішення економічних проблем виникає необхідність в аналізі об'єкта з властивостями, які вимірюються в різних неметричних масштабах. Найбільш популярний математичний підхід до обробки цих даних - багатовимірний метод масштабування. Існують метричний і неметричний підходи шкалювання. Найбільш оптимальний з них - метричний метод Торгенсона, але він передбачає метричну шкалу вхідних змінних. У статті запропоновано модифікований метод факторного аналізу, який передбачає неметричні дані в якості вхідних даних. У статті представлені аргументи, з якими пропонована модифікація є вдосконаленим методом багатовимірного шкалювання. Запропонований метод займає менше часу, ніж метод Торгенсона, але при цьому математично виправданий. Таким чином, наведено математичне пояснення узагальненого багатовимірного методу масштабування. Такий підхід розширює діапазон можливих шляхів для описання об'єктів в економіці за допомогою коефіцієнтів, що знаходяться в різних масштабах.